Capítulo12 Jogos Bayesianos
12.1 Introdução
Até o momento nós lidamos com jogos em que os agentes possuem informação completa ou crenças comuns sobre movimentos da natureza, por exemplo. É comum que os agentes saibam mais sobre si mesmo do que dos demais. Políticos sabem suas preferências mais que eleitores, grupos de interesse mais sobre seus setores do que políticos e burocratas, líderes políticos mais sobre sua decisão de ir à guerra do que outros estados. Essas são situações em que temos assimetria de informação.
Wm certo sentido, jogos simultâneos representam situações em que que os jogadores não sabem o que os demais escolherem, e devem fazer conjecturas sobre as escolhas dos outros, e elas devem ser mutuamente consistente para que possamos achar o equilíbrio do jogo. John Harsany foi possivelmente o primeiro a perceber a similaridade entre crenças sobre ações e crenças sobre preferências ou quem são os jogadores. Harsany, que viria a ganhar o prêmio Nobel de economia juntamente com Nash e Selten (ue desenvolveu a noção de subjogo perfeito), desenvolvou uma forma elegante de pensar sobre as crenças que podemos formar sobre as características dos jogadores, o que iremos chamar de tipos dos jogadores. E nós chamamos jogos em que jogadores podem ser de diferentes tipos de jogos de informação incompleta.
12.1.2 Aplicação - votação em um júri
Uma das aplicações clássicas de jogos Bayesianos é a de votação de um júri, desenvolvido no trabalho de Feddersen e Pesendorfer (1998). Neste artigo eles mostram que a regra da unanimidade (em que é necessário unanimidade para condenar um acusado) pode mais prejudicar do que ajuda pessoas que estao em julgamento, quando comparada com regra da maioria. Para entender o modelo e seus resultados, vamos começar supondo que o júri é formado por uma única pessoa, já que este é o caso mais simples.
A única jurada deve decidir se sentencia à reclusão ou absolve um réu acusado de um crime, ou seja, decide o resultado \(x \in \{a,s\}\). A jurada não sabem se o acusado é Culpado ou Inocente. Portanto, o conjunto de estado das variáveis é \(\Omega \in \{C,I\}\). A jurada atribui probabilidade a priori \(\pi\) ao estado \(C\), ou seja, acredita a priori que a probabilidade do réu ser culpado é \(\pi\). Por fim, se condenar uma pessoa culpada ou absolver um inocente, recebem \(0\) de utilidade. De outro lado, se prender um inocente obtem \(-q\) e se absolver um culpado recebem \(-(1-q)\) de utilidade, em que \(q \in (0,1)\). A ideia é que \(q\) representa o nível de “dúvida razoável” da jurada para condenar. Se ela acha que para condenar alguém deve ter \(80/%\) de certeza, então \(q=.8\) e se ela condenar um inocente obtém um payoff de \(-.8\) e se absolver um culpado o payoff é \(-(1-.8) = -0.2\). Ou seja, se o nível de dúvida razoável é maior que \(.5\), isso significa que é pior condenar um inocente do que absolver um culpado. Se \(q=.5\), a jurada vê como igualmente ruim errar condenando um inocente ou absolvendo um culpado.
Dada a probabilidade a priori, podemos calcular a utilidade esperada da jurada sem novas informações adicionais. \(\mathbb{E}[U_i(\text{veredito de culpado})] = 0\pi + -q(1-\pi) = -q + q\pi\) e \(\mathbb{E}[U_i(\text{veredito de inocente})] = -(1-q)\pi + 0(1-\pi) = -\pi + q\pi\). Queremos saber se \(-q + q\pi > -1 + q\pi\) e, portanto, a jurada deve condenar ou não. \(-q + q\pi > -\pi + q\pi = -q > -pi = q < \pi\)
Ou seja, se a probabilidade a priori do réu ser culpado é maior do que o ponto de corte de dúvida razoável, deve condenar. Se não, deve absolver. Agora, vamos supor que ela observa um sinal correlacionado com o verdadeiro estado mundo, isto é, um sinal informativo. Pode ser alguma evidência da defesa ou da acusação. Para simplificar, vamos supor que apenas um único sinal é observado. Essa informação é um sinal binário sobre a culpabilidade do réu \(\theta_i \in \{0,1\}\), e por sinal informativo queremos dizer que é mais provável receber um sinal \(\theta_i = 1\) quando o réu é culpado do que quando o réu é inocente e vice-versa. Vamos supor que \(Pr(\theta_i = 1|\omega = C) = Pr(\theta_i = 0|\omega = I) = p > 1/2\). Disso se segue que \(Pr(\theta_i = 1|\omega = I) = Pr(\theta_i = 0|\omega = C) = 1- p\).
Suponha inicialmente que o singal foi \(1\), isto é, de que o réu é culpado. A probabilidade a posteriori pode ser calculada usando o teorema de Bayes:
\[Pr(C|1) = \frac{Pr(C)Pr(1|C)}{Pr(1)} = \frac{\pi p}{Pr(C)Pr(1|C) + Pr(I)Pr(1|I)} = \frac{\pi p}{\pi p + (1-\pi)(1-p)}\] De maneira similar, podemos computar a probabilidade a posteri após observar um sinal de inocëncia:
\[Pr(I|1) = \frac{Pr(I)Pr(1|I)}{Pr(1)} = \frac{\ (1-\pi)(1-p)}{(1-\pi)(1-p) + \pi p}\] \(1-\pi < .5\) e \(q\pi < .25\) e a utilidade esperada de condenar é \(< -.25\). Por raciocínio análogo, a utilidade esperada de absolver é Ou seja, têm mais a ganhar condenando do que absolvendo. Vejam que a estratégia de escolher votar pela absolvição \(a\) é fracamente dominada por sentença \(S\). Se escolhermos eliminar estratégias fracamente dominadas, o que sobra é o equilíbrio de Nash em que todos condenam.
Podemos agora computar as utilidades esperadas de setenciamento e absolvição. \[\mathbb{E}[U_i(\text{veredito de culpado})] = 0Pr(C|1) + -q(1-Pr(I|1)) = -q\frac{\ (1-\pi)(1-p)}{(1-\pi)(1-p) + \pi p}\]
\[\mathbb{E}[U_i(\text{Inocente})] =-(1-q)Pr(C|1) + 0(1-Pr(I|1)) = -(1-q)\frac{\pi p}{\pi p + (1-\pi)(1-p)}\] A jurada prefere condenar quando \(-q\frac{\ (1-\pi)(1-p)}{(1-\pi)(1-p) + \pi p} > -(1-q)\frac{\pi p}{\pi p + (1-\pi)(1-p)}\). Rearranjando, temos: \(q < \frac{\ (1-\pi)(1-p)}{(1-\pi)(1-p) + \pi p}\), ou seja, \(q < Pr(C|1)\). Em palavras: como anteriormente, a jurada prefere condenar se probabilidade (a posteriori) de o réu ser culpado for maior do que o nível de “dúvida razoável”. Note também que se \(\pi = .5\), isto é, a probabilidade a priori da culpabilidade do réu é de \(50\%\), então \(Pr(C|1) = p\), a probabilidade de observar um sinal de culpado, dado que é culpado.
Se fizermos raciocínio smilar para o caso dela observar um sinal de inocente, podemos calcular qual o valor de \(q\) que torna preferível absolver o réu, e isso é dado por: \(q > \frac{\pi(1-p)}{(1-\pi) p + \pi(1-p)}\). Novamente, supondo que \(\pi = .5\), podemos simplificar e concluir que ela votará pela absolvição sempre que \(q > 1- p\). Juntanto o que concluímos antes, temos que a jurada votará com seu sinal sempre que \(1 - p < q < p\). Se \(q = .5\), como o sinal é informativo \(p > .5\), então ela sempre votará com seu sinal. Dizemos que se ela vota de acordo com seu sinal, sua votação é informativa.
12.1.3 Votando contra seu sinal
O que acontece se tivermos \(n\) juradas?
Suponha agora que a promotoria e dedefesa apresentam informações sobre o verdadeiro estado da natureza (se o réu é culpado ou inocente). Aqui, vamos trabalhar com apenas uma informação sendo apresentada para cada jurado. A ideia é que cada jurado possui alguma expertise que o permite avaliar com mais qualidade uma das informações recebidas e as demais eles descartam. Em temros de teoria dos jogos, dizemos que cada jurado recebe uma informação privada. Essa informação é um sinal binário sobre a culpabilidade do réu \(\theta_i \in \{0,1\}\), correlacionado com a verdade, ou seja, o sinal é informativo, de tal forma que uma jurada é mais provável de receber um sinal \(\theta_i = 1\) quando o réu é culpado do que quando o réu é inocente. Vamos supor que \(Pr(\theta_i = 1|\omega = C) = Pr(\theta_i = 0|\omega = I) = p > 1/2\). Disso se segue que \(Pr(\theta_i = 1|\omega = I) = Pr(\theta_i = 0|\omega = C) = 1- p\).
Após receber seu sinal privado, a jurada seleciona seu voto \(v(\theta_i)\) de forma a maximizar a probabilidade da decisão correta. Se todas as juradas adotarem comportamento sincero, isto é, \(v_i(1) = s\) e \(v_i(0) = a\).
Vamos aqui trabalhar com uma versão simplificada. Suponha que haja três jurados, ou seja, três jogadores \(N = \{1,2,3\}\), que são responsáveis por. ## Referências
Feddersen, T., & Pesendorfer, W. (1998). Convicting the innocent: The inferiority of unanimous jury verdicts under strategic voting. American Political science review, 92(1), 23-35.